08/26/2019 Nyári Bendegúz

3. A Szentpétervár-paradoxon

A következő valószínűségszámítási fogalom, amivel megismerkedünk a várható érték. Biztosíthatlak, hogy a KEMA érettségi előkészítőn is fogsz vele találkozni! Ehhez egy népszerű, mindenki számára ismert játékot, a fej vagy írást fogjuk vizsgálni speciális szabályok mellett.

Egy ismerősünk odajön hozzánk és megkérdezi, játszanánk-e vele a következő játékot: Veszünk egy pénzérmét, majd addig dobjuk fel, amíg fejet nem kapunk, a nyeremény pedig kettő az annyiadik ezer forint, ahányadikra sikerült fejet dobni. Például ha a harmadik dobásra kapunk fejet, akkor $2^3=8$ ezer forint a nyeremény.

Mennyit lennénk hajlandóak fizetni az ismerősünknek egy ilyen játékért?

Mielőtt a kérdést megválaszoljuk mindenki írja le mi lehet a játéknak az ára.

Egy játékot számunkra nyilván akkor éri meg játszani, ha a várható nyeremény nagyobb mint a befizetett összeg. Vagyis meg kell mondani mekkora nyereményt várhatunk ebben a játékban. Ezt megtehetjük, ha összeadjuk a megfelelő eseményeket (jelen esetben a nyereményeket) megszorozva az esemény bekövetkezési valószínűségével.

Mivel szabályos érmével játszunk ezért annak a valószínűsége, hogy fejet dobunk $1/2$, annak a valószínűsége, hogy csak másodjára dobunk fejet $(1/2)^2$, majd harmadjára $(1/2)^3$ valószínűséggel dobunk fejet és így tovább. A nyeremények pedig, ahogy korábban beszéltük, 2 majd $2^2=4$ majd pedig $2^3=8$ ezer forint és értelemszerűen így tovább.

A matematika eszközeivel ezt a következő módon írhatjuk:
\begin{align*}
\text{várható nyeremény}&=\dfrac{1}{2} 2 + \dfrac{1}{2^2}2^2 + \dfrac{1}{2^3} 2^3 +\ldots \\
&= 1 +1 +1 + \ldots = \infty
\end{align*}
az első sorban ahogy láthatjuk minden tag egyet ad, amiből azonban végtelen sokat adunk össze, így az eredmény is végtelen.

Tehát azt kaptunk, hogy a játék várható nyereménye végtelen. Azonban biztosan állíthatom, hogy senki nem értékelte pár ezer forintnál többre a játékot. Miért van ez? Hogy hogy nem játsszák ezt a játékot az emberek hatalmas tétekben, miközben a várható nyeremény véletlen?

A választ először a híres olasz matematikus család, a Bernouilli család, egy tagja adta meg. Válaszának lényege, hogy az emberekben a pénz és annak hasznossága nem egyenesen arányos, vagyis 10-szer annyi pénzt nem érzünk 10-szer olyan hasznosnak, vagy más szóval olyan értékesnek. Továbbá, hogy minél nagyobb a tét, az emberek annál inkább kockázat kerülőek. Egy harmadik érv pedig, hogy ahhoz, hogy a végtelen várható értéket ki tudjuk használni végtelen számú játékot kellene játszanunk és végtelen tőkével kéne rendelkeznünk, ami természetesen irreális elvárás.

Ha szeretnél magabiztos lenni a valószínűségszámításban is, jelentkezz most matematika emelt érettségi előkészítő tanfolyamunkra!